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Kurze Einführung in die Bevölkerungsprognose – Teil 3

Dieser Beitrag beschäftigt sich mit der einjährigen Sterbewahrscheinlichkeit, eines der drei Elemente der natürlichen Bevölkerungsbewegung, die in Sterbetafeln dargestellt wird.

Der 1. Teil brachte eine kurze Einführung und Übersicht.
Der 2. Teil brachte das Geschlechterverhältnis bei der Geburt.
Dieser 3. Teil bringt die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit und die Sterbetafel.
Eine Sterbetafel ist eine (mindestens) dreispaltige Tabelle mit den Spalten: „Alter“, „männlich“, „weiblich“ und den Zeilen der Alter 0 (Null) bis (meist) 100. In den Spalten „männlich“ bzw. „weiblich“ ist die diesem Alter entsprechende einjährige Sterbewahrscheinlichkeit eingetragen. Die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein x-Jähriger seinen nächsten Geburtstag nicht erreichen wird. Die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit ist eine positive Zahl größer 0 (Null) aber kleiner-gleich 1: (0Sterbetafeln werden von den Statistikämtern ständig neu berechnet. Für Deutschland sind diese Sterbetafeln bekannt:
Deutschland, 1871/72-1880/81;
Deutschland, 1890/1891;
Deutschland, 1891/1900;
Deutschland, 1910/1911;
Deutschland, 1924/26; sehr bekannt und viel verwendet;
Deutschland, 1932/34;
Deutschland, 1949/51;
Deutschland, 1960/62; sehr bekannt und viel verwendet;
Deutschland, BRD, 1986/88; sehr bekannt und viel verwendet, letzte nach einer vollständigen Volkszählung;
Deutschland, DDR, 1986/1987; weitere Tafeln gibt es für DDR.
Die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit berechnet sich als Quotient der Zahl der Gestorbenen im Alter x und der Zahl der Lebenden im Alter x: q{x}=d{x}/l{x}; dabei bedeutet das Formelzeichen „d“ (kleiner Buchstabe D) die Gestorbenen und das Formelzeichen „l“ (kleiner Buchstabe L) die Lebenden im gleichen Alter. Es gilt die Beziehung: d{x}=l{x+1}-l{x}; Beispiel für das Alter x=40: d{40}=l{41}-l{40}. Die Statistikämter glätten mit statistischen Methoden diese Rohwerte der einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten.
In der Praxis werden die Zahlen der Gestorbenen bei den Standesämtern ermittelt; damit sind Mehrfachzählungen unwahrscheinlich, Nicht-Zählungen jedoch durchaus möglich, wenn der Tod nicht gemeldet wird. Die in der Rechnung eingehenden Werte der d{x} sind also eher zu niedrig als zu hoch. Die Werte der l{x} stammen aus Volkszählungen oder deren Fortschreibungen; hier sind Abweichungen vom wahren Wert nach beiden Seiten möglich. Es sind aber zunehmend Tendenzen des vorsätzlichen Sich-nicht-zählen-lassen mindestens aus den jüngeren Volkszählungen bekannt, sodass die Abweichungen wohl eher nach unten zeigen.
Für die Abschätzung der Richtigkeit der Werte q{x} ergibt sich mithin: Selbst wenn beide verwendeten Grundwerte fehlerhaft sind, wird das Ergebnis der Division einen kleineren Fehler aufweisen als jeder der beiden Grundwerte für sich, wenn die Fehlerrichtung bei beiden Grundwerten in die gleiche Richtung geht. Wir dürfen daher wohl annehmen, dass die Werte der Sterbetafeln den wahren Werten recht nahe kommen. Dies ist die statische Bewertung.
Alle Sterbetafeln zeigen ein typisches Bild: Sie beginnen beim Alter 0 (Null) mit recht hohen Werten um dann schnell – so um das Alter 12 – auf den tiefsten Wert zu fallen und dann mit zunehmendem Alter im stärker anzusteigen.
Alle bekannten Sterbetafeln zeigen eine Tendenz: Die Werte der einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten werden kleiner: die Menschen leben länger. Diese Entwicklung wird, so die allgemeine Annahme, noch einige Zeit so weiter gehen; ganz sicher aber nicht in die Ewigkeit. Für die Alter zwischen 12 und Mitte dreißig sind die Werte bereits heute so niedrig und liegen so dicht bei Null, dass sie kaum noch weiter sinken können, oder anders ausgedrückt, selbst wenn sie auf den unmöglichen Wert von Null sinken würden, würde das für das Ergebnis der Zahl der Bevölkerung kaum es ausmachen. Für die dynamische Betrachtung und den Blick in die Zukunft, können wir also mit einer weiteren leichten Absenkung der Werte der einjährigen Sterbewahrscheinlichkeit rechnen, und zwar in den untersten Altern (Kinder- und Säuglingssterblichkeit) sowie vor allem in den hohen Altern.
Es gibt zwei Typen von Sterbetafeln:
die Kohortensterbetafel.
die Querschnittsterbetafel.
Die Kohortensterbetafel ist die systematisch sauberere, sie beschreibt die einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten eines einzigen Geburtsjahrgangs, der Kohorte. Sie kann vollständig nur für die Vergangenheit aufgestellt werden. Für die im Jahr 1850 Geborenen ließe sie sich vollständig aufstellen, denn die sind bis heute alle gestorben. Für die Geborenen des Jahrgangs 1900 mag das auch möglich sein, denn niemand des Jahrgangs 1900 wurde älter als 117 Jahre. Aber für den Jahrgang 1910 könnte es schon unmöglich sein, denn es könnte ja heute noch jemand im Alter von 107 Jahren leben. Für das Geburtsjahr 1920 ist es mit Sicherheit nicht möglich, denn es leben sicher noch einige aus diesem Jahrgang, sie sind jetzt ja erst 97 Jahre. Für alle späteren Jahrgänge können heute nur die ersten Alter der Sterbetafel berechnet werden. Eine Kohortensterbetafel mag für bestimmte wissenschaftliche Untersuchungen brauchbar und notwendig sein, für jede Bevölkerungsprognose ist sie schlicht unbrauchbar, denn ihr fehlen ja mehr oder minder alle Werte größer 0 (Null).
Alle heute verwendeten Sterbetafeln sind Querschnittsterbetafeln, ihre Altersangaben sind immer ein Querschnitt durch alle Geburtsjahrgänge. Wenn ich heute in die Sterbetafel blicke, um zu sagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der heute 20-Jährige als 60-Jähriger zu rechnen hat, dann ist dieser Wert nicht der seines Geburtsjahrgangs sondern der eines 40 Jahre Älteren. Korrekt arbeitende Prognostiker kennen dieser Fehler unserer Sterbetafeln nicht nur, sie wissen auch, wie man ihn durch Manipulation korrigieren kann.
Verlängerung der Sterbetafel.
Die Menschen leben länger, wir passen unsere Modelle daran an, indem wir die jeweils verwendete Sterbetafel bis zum Alter 125 verlängern. Die Grenze 125 ist von mir gewählt worden, weil ich gelesen habe, dass die älteste Frau 122 Jahre geworden sei. Für die neu hinzukommenden Alter setzen wir die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit auf den Wert des höchsten Alters, der kleiner 1 ist (in dem Beispiel unten ist dies das Alter „100“ mit den Werten 0,40434 „männlich“ und 0,38178 „weiblich“), und kopieren ihn in alle Felder der gleichen Spalte bis zum Alter 124 (die 1 im Alter 101 wird überschrieben!), in das Feld des Alters 125 schreiben wir in jedem Fall eine 1,00000000. Diese 1 bedeutet den sicheren Tod, älter wird niemand.
Diese Art der Tabellenverlängerung ist zugegeben reichlich primitiv und falsch ist sie auch, aber jede andere Methode ist zwar komplizierter und sieht wissenschaftlicher aus ist aber auch nicht richtig. Außerdem spielen Fehler in den einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten oberhalb des Alters von 50 Jahren für die Reproduktion keine Rolle, sie werden also nicht bei genügend langen berechneten Zeiträumen in die Folgegenerationen verfälschend hinein verschleppt. Da die uns gelieferten Werte bis zum Alter 100 oder sogar darüber hinaus vorliegen, werden durch unsere eigenmächtige Verlängerung auch die so wichtigen Rentnerwerte nur geringfügig beeinflusst. Diese Verlängerung ist also derzeit mehr eine Sache des Prinzips als der zwingenden Notwendigkeit. Die Sterbetafel Deutschland BRD 1960/62 endet im Alter 106 für männlich und 109 für weiblich; das Statistische Bundesamt hat bei dieser Sterbetafel das Problem dieser Verlängerung diskutiert. - Bei den Auswertungen werden wir nach dieser Änderung der Sterbetafel nur geringfügige Veränderungen finden.
Absenkung der einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten.
Alle Sterbetafeln zeigen über die Zeit eine Absenkung der einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten: Die Menschen leben länger. Diesen Trend können wir in unsere Sterbetafel einarbeiten, welche Rechenmethode wir anwenden wollen, ist zunächst unsere ureigenste Entscheidung.
Vorschlag 1. Wir nehmen zwei Sterbetafeln: A, die Ältere, und N, die Neuere; die beiden Tafeln mögen n Jahre auseinanderliegen. Wir rechnen für jeden Tabellenwert: (A‑N)/n=V und erhalten die mittlere jährliche Veränderung V, die vermutlich stets negativ ist; diesen Korrekturwert V addieren wir bei jedem jährlichen Rechendurchlauf auf die Werte der Sterbetafel. Dies wäre eine lineare Annahme der Veränderung.
Vorschlag 2. Wer eine exponentielle Veränderung für richtiger hält, kann aus der Differenz beider Sterbetafeln auch den exponentiellen Wachstums- oder wohl besser Schrumpfungsfaktor errechnen und damit die Sterbetafelwerte manipulieren.
Sterbetafeln, Deutschland, Tabellen, BRD 1986/88
Und hier gebe ich, damit es leichter geht, die Sterbetafel 1986/88 für Westdeutschland an. In LibreOffice kann diese Liste markiert und in das Textsystem (Writer) übernommen werden; dort wandeln wir diese Liste (markieren) in eine Tabelle im Writer (Tabelle – Umwandeln - Text in Tabelle); diese Tabelle markieren und kopieren wir in CALC. Jetzt können wir rechnen. Das Semikolon „;“ ist der Feldtrenner – nicht anfassen. Achtung: Die hier gegebenen Werte erzeugen drei Spalten: x, q{x} und q{y}.

x;q{x};q{y}
0;0,00925;0,00702
1;0,00071;0,00058
2;0,00049;0,00040
3;0,00036;0,00027
4;0,00031;0,00020
5;0,00029;0,00018
6;0,00028;0,00017
7;0,00026;0,00016
8;0,00024;0,00015
9;0,00022;0,00015
10;0,00020;0,00015
11;0,00020;0,00015
12;0,00021;0,00015
13;0,00023;0,00016
14;0,00029;0,00018
15;0,00040;0,00022
16;0,00056;0,00026
17;0,00075;0,00031
18;0,00096;0,00036
19;0,00107;0,00038
20;0,00110;0,00038
21;0,00109;0,00038
22;0,00107;0,00037
23;0,00104;0,00037
24;0,00102;0,00038
25;0,00100;0,00039
26;0,00100;0,00040
27;0,00101;0,00042
28;0,00104;0,00045
29;0,00108;0,00048
30;0,00112;0,00052
31;0,00117;0,00056
32;0,00123;0,00061
33;0,00129;0,00065
34;0,00137;0,00071
35;0,00147;0,00077
36;0,00158;0,00085
37;0,00170;0,00093
38;0,00184;0,00103
39;0,00200;0,00113
40;0,00219;0,00124
41;0,00241;0,00136
42;0,00265;0,00149
43;0,00293;0,00163
44;0,00324;0,00178
45;0,00359;0,00194
46;0,00398;0,00211
47;0,00440;0,00229
48;0,00487;0,00249
49;0,00540;0,00271
50;0,00599;0,00295
51;0,00665;0,00321
52;0,00739;0,00351
53;0,00820;0,00384
54;0,00908;0,00420
55;0,01003;0,00460
56;0,01104;0,00503
57;0,01213;0,00551
58;0,01328;0,00603
59;0,01452;0,00662
60;0,01585;0,00727
61;0,01730;0,00798
62;0,01886;0,00877
63;0,02056;0,00964
64;0,02242;0,01060
65;0,02445;0,01167
66;0,02671;0,01287
67;0,02923;0,01422
68;0,03206;0,01575
69;0,03524;0,01750
70;0,03881;0,01951
71;0,04282;0,02184
72;0,04730;0,02455
73;0,05228;0,02769
74;0,05778;0,03132
75;0,06383;0,03547
76;0,07043;0,04020
77;0,07759;0,04556
78;0,08534;0,05158
79;0,09367;0,05832
80;0,10262;0,06582
81;0,11219;0,07409
82;0,12238;0,08318
83;0,13320;0,09311
84;0,14467;0,10391
85;0,15678;0,11558
86;0,16954;0,12814
87;0,18295;0,14160
88;0,19700;0,15594
89;0,21166;0,17115
90;0,22693;0,18720
91;0,24278;0,20406
92;0,25917;0,22170
93;0,27607;0,24005
94;0,29343;0,25904
95;0,31120;0,27861
96;0,32934;0,29866
97;0,34778;0,31911
98;0,36647;0,33985
99;0,38534;0,36077
100;0,40434;0,38178
101;1,00000;1,00000


21.01.2018
Hermann Müllerbei
Bentierode
Bentieröder Bruch 8
D-37574 Ein
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